Tích phân bội hai (full phương pháp và các kiểu bài tập)
Miền $D$ được xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l} {a\le x\le b} \\ {c\le y\le d} \end{array}\right. $.
Bạn đang xem: Tích phân bội hai (full phương pháp và các kiểu bài tập)
Giả sử $f(x,y)$ liên tục, không âm trên $D$.
Ta có: $V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy$ ($V$ là vật thể hình trụ có đáy là miền $D$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$, xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục $Oz$ và phía trên là một mặt cong có phương trình $z=f(x,y)$)
Gọi $S(x)$ là diện tích thiết diện vuông góc với $Ox$ tại $x\in {\rm <}a,b{\rm >}$ của vật thể.
Theo ứng dụng của tích phân xác định thì thể tích của vật thể hình trụ được cho bởi công thức $V=\int _{a}^{b}S(x)dx $.
Vì $f(x,y)$ liên tục trên $D$ nên $S(x)$ liên tục trên ${\rm <}a,b{\rm >}$, do đó $S(x)$ khả tích trên ${\rm <}a,b{\rm >}$.
Mặt khác $S(x)$ là diện tích hình thang cong có đáy là $
Theo ứng dụng của tích phân xác định thì $S(x)=\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy $.
Vậy, ta có: $V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int\limits_{a}^{b}\left<\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy \right>dx $
Cũng có thể viết: $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy.\label{3.1.2}\tag{2}$$
Chú ý.
1. Công thức \eqref{3.1.2} vẫn đúng khi $f(x,y)$ liên tục và âm trên $D$.
2. Việc tính tích phân bội hai được đưa về tính hai tích phân đơn liên tiếp.
Lưu ý. Khi tính tích phân bội hai ở công thức \eqref{3.1.2} ta phải tính $\int _{c}^{d}f(x,y)dy $ trước (ta xem $x$ là hằng số).
3. Thay vì tính thể tích của vật thể hình trụ bởi công thức $V=\int _{a}^{b}S(x)dx$ ta có thể tính bởi công thức $V=\int \limits_{c}^{d}S(y)dy $ ($S(y)$ là diện tích thiết diện vuông góc với $Oy$ tại $y\in
Do đó, $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{c}^{d}dy \int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx $.
Như vậy, $$\int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy =\int\limits_{c}^{d}dy \int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx. \label{3.1.3}\tag{3}$$ \eqref{3.1.3} được gọi là công thức đổi thứ tự lấy tích phân bội 2.
4. Nếu $f(x,y)=f_{1} (x).f_{2} (y)$ thì $$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy _{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{a}^{b}f_{1} (x)dx \int\limits_{c}^{d}f_{2} (y)dy.\label{3.1.4}\tag{4}$$Trong trường hợp này tích phân bội hai bằng tích của 2 tích phân đơn nên ta tính các tích phân đơn độc lập (tích phân nào trước cũng được) rồi đem kết quả nhân với nhau.
Ví dụ 3. Xem thêm: Trọng Sinh Trở Thành Tình Địch Thê (重生成为情敌妻), Trở Thành Vợ Của Tình Địch
Hướng dẫn. Tính các tích phân $I=\iint\limits_{D}(x+y)dxdy $ và $J=\iint\limits_{D}xydxdy $ với $D: \left\{\begin{array}{l} {0\le x\le 1} \\ {-1\le y\le 2} \end{array}\right.$
Miền $D$ được xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l} {a\le x\le b} \\ {y_{1} (x)\le y\le y_{2} (x)} \end{array}\right. $ Với $y_{1} (x);y_{2} (x)$ là những hàm liên tục và đơn trị trên ${\rm <}a,b{\rm >}$.
Giả sử $f(x,y)$ liên tục, không âm trên $D$.
Tương tự như trường hợp trên, ta có: $V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int\limits_{a}^{b}S(x)dx $.
Với $S(x)$ là diện tích thiết diện vuông góc với $Ox$ tại $x\in {\rm <}a,b{\rm >}$ của vật thể.
Mặt khác, $S(x)$ là diện tích hình thang cong có đáy là $
Chú ý. Công thức \eqref{3.1.5} vẫn đúng khi $f(x,y)$ liên tục và âm trên $D$.
Miền $D$ được xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l} {x_{1} (y)\le x\le x_{2} (y)} \\ {c\le y\le d} \end{array}\right. $ Với $x_{1} (y);x_{2} (y)$ là những hàm liên tục và đơn trị trên ${\rm <}c,d{\rm >}$.
Giả sử $f(x,y)$ liên tục, không âm trên $D$.
Tương tự như trường hợp trên, ta có: $V=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{c}^{d}S(y)dy $
Với $S(y)$ là diện tích thiết diện vuông góc với $Oy$ tại $y\in
$S(y)$ là diện tích hình thang cong có đáy là $
Công thức \eqref{3.1.6} vẫn đúng khi $f(x,y)$ liên tục và âm trên $D$ là miền bất kì (miền lồi-mọi đường thẳng song song với các trục Ox, Oy cắt $D$ tại tối đa 2 điểm).
$f(x,y)$ liên tục, đơn trị và không âm trên $D$.
Dựng hình chữ nhật nhỏ nhất có các cạnh song song với $Ox,Oy$ chứa $D$.
Giả sử, hình chữ nhật ấy được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l} {a\le x\le b} \\ {c\le y\le d} \end{array}\right. $
Gọi M, N, P, Q là các giao điểm của biên hình chữ nhật với biên của $D$.
Các điểm M và P chia biên của $D$ thành hai cung: cung MNP và cung MQP có phương trình lần lượt là $y=y_{1} (x);{\rm \; }y=y_{2} (x)$.
Theo trên ta có: $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy $.
Các điểm N và Q chia biên của $D$ thành hai cung: cung NMQ và cung NPQ có phương trình lần lượt là $x=x_{1} (y);{\rm \; }x=x_{2} (y)$ .
Ta có $\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy =\int\limits_{c}^{d}dy \int\limits_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)}f(x,y)dx $.
Vậy, ta có công thức đổi thứ tự lấy tích phân (tổng quát) trong tính tích phân bội hai là $$\int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)}f(x,y)dy =\int\limits_{c}^{d}dy \int\limits_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)}f(x,y)dx. $$
Ví dụ 4.
Cho miền $D$ được giới hạn bởi các đường $x=1;y=0;y=x^{2} $. Tính diện tích miền $D$ và tính tích phân $I=\iint\limits_{D}(2x+y)dxdy $.
Xem thêm: Hàng Long Thập Bát Chưởng - Giáng Long Thập Bát Chưởng
Hướng dẫn.
Vẽ hình biểu diễn miền $D$. Tiếp theo, ta biểu diễn miền $D$ (nên căn cứ vào hình vẽ miền $D$) Ta có: $D:\left\{\begin{array}{l} {0\le x\le 1} \\ {0\le y\le x^{2} } \end{array}.\right. $ Để tính diện tích miền $D$ và tính tích phân $I$ ta áp dụng công thức \eqref{3.1.5}. Vậy, \begin{align}S_{D} &=\iint\limits_{D}dxdy =\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{x^{2} }dy =\int\limits_{0}^{1}y\Big|_{y=0}^{y=x^{2} } dx\\&=\int _{0}^{1}x^{2} dx =\dfrac{1}{3} x^{3} \Big|_{0}^{1} =\dfrac{1}{3} \text{ (đvdt)}.\end{align} | Tính tích phân bội hai với miền lấy tích phân bất kì |
Và \begin{align}I&=\iint\limits_{D}(2x+y)dxdy =\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{x^{2} }(2x+y)dy =\int\limits_{0}^{1}\left. \left(2xy+\dfrac{1}{2} y^{2} \right)\right|_{y=0}^{y=x^{2} } dx\\&=\int\limits_{0}^{1}\left(2x^{3} +\dfrac{1}{2} x^{4} \right)dx =\left. \left(\dfrac{1}{2} x^{4} +\dfrac{1}{10} x^{5} \right)\right|_{0}^{1} =\dfrac{3}{5}.\end{align}
Chuyên mục: Game Mobile
